Квартет Энскомба и феномен Уилла Роджерса
Помните анекдот о средней температуре по больнице? Похожую ситуацию продемонстрировал Фрэнсис Энскомб с помощью своего "квартета". Вот после этого доверяй статистике...
Есть последовательности A, B, C и D, про которые известно следующее:
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| Среднее значение x | 9.00 | 9.00 | 9.00 | 9.00 |
| Дисперсия х | 10.00 | 10.00 | 10.00 | 10.00 |
| Среднее значение y | 7.50 | 7.50 | 7.50 | 7.50 |
| Дисперсия y | 3.75 | 3.75 | 3.75 | 3.75 |
| Корреляция между x и y | 0.82 | 0.82 | 0.82 | 0.82 |
| Прямая линейной регрессии | y = 3 + 0.5 x | y = 3 + 0.5 x | y = 3 + 0.5 x | y = 3 + 0.5 x |
То есть все указанные величины для них совпадают (по
крайней мере, до второго знака после запятой).
Но если посмотреть на все эти последовательности своими глазами, можно увидеть, что они все совершенно разные:
Еще один интересный феномен под названием "феномен Уилла Рожжерса", суть которого в том, что перемещение численного элемента из одного множества в другое может увеличить среднее значение обоих множеств.
Рассмотрим два множества, A и B:
- A = {1, 2, 3, 4},
- B = {5, 6, 7, 8, 9}.
Арифметическое среднее элементов A равно 2,5, элементов B — 7.
Однако, если число 5 переместить из B в A, получив
- A = {1, 2, 3, 4, 5},
- B = {6, 7, 8, 9},
то среднее значение элементов A повысится до 3, а среднее значение элементов B — до 7,5.
Рассмотрим более очевидный пример:
- A = {1, 2},
- B = {99, 10 000, 20 000},
со средними значениями 1,5 и 10 033 соответственно. Перемещение числа 99 из B в A поднимет их до 34 и 15 000. 99 на порядки больше 1 и 2 и, соответственно, гораздо меньше 10 000 и 20 000. Поэтому, увеличение средних значений обоих множеств из-за перемещения 99 не должно быть неожиданностью.
Для увеличения средних значений, перемещаемый элемент не обязательно должен быть минимальным во втором множестве (и стать максимальным в первом). Например:
- A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13},
- B = {6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}.
При перемещении числа 10 из B в A поднимает среднее арифметическое элементов множества A с 7 до 7,375, множества B с 12 до 12,333. Эффект имеет место, хотя и не столь заметен.
Увеличение происходит при выполнении обоих условий:
- Перемещаемый элемент меньше среднего значения элементов своего множества. Таким образом, его удаление увеличит это значение.
- Перемещаемый элемент больше среднего значения множества, в которое его перемещают. Отсюда следует, что его добавление повысит это значение.
Парадокс является кажущимся, потому что многие люди удивлены тем, что такое может происходить, хотя этому есть свое математическое объяснение.
Ссылки: